導(dǎo)讀：

量子力學(xué)不是玄學(xué)，而是一套清晰的數(shù)學(xué)框架，可以比作微觀世界運(yùn)行的一本操作手冊。根據(jù)這本操作手冊，我們能對微觀世界做出精確的預(yù)測，跟實驗符合到小數(shù)點(diǎn)后第9位甚至更多。從信息科學(xué)的角度看來，量子力學(xué)中能夠利用的是“三大奧義”：疊加、測量和糾纏。

—————————————————————————————————————————

前兩篇見：

你完全可以理解量子信息（1） | 袁嵐峰

你完全可以理解量子信息（2-3） | 袁嵐峰

四、微觀世界運(yùn)行的操作手冊

你可能聽說過不少渲染量子力學(xué)如何難以理解的說法，如“連愛因斯坦都理解不了量子力學(xué)”，“費(fèi)曼說，沒有人理解量子力學(xué)”。但對初學(xué)者來說，這些說法有點(diǎn)誤導(dǎo)，會讓你以為量子力學(xué)是一種玄學(xué)、禪機(jī)，一種類似腦筋急轉(zhuǎn)彎或者詭辯的東西。

實際上，量子力學(xué)是一套清晰的數(shù)學(xué)框架，可以比作微觀世界運(yùn)行的一本操作手冊。全世界有數(shù)以百萬計的科技人員熟悉這本操作手冊，就像全世界有數(shù)以百萬計的管道工熟悉管道操作一樣。根據(jù)這本操作手冊，我們能對微觀世界的運(yùn)行做出精確的預(yù)測，跟實驗符合得極好，常常準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第9位甚至更多。

英國物理學(xué)家狄拉克的名著《量子力學(xué)原理》

那么難理解的是什么呢？是這本操作手冊“為什么”是這樣，這是個哲學(xué)層面的問題。而這本操作手冊本身，是十分清楚的。好比你拿到《九陰真經(jīng)》，雖然不明白里面很多地方為什么這么寫，但你照著練就能成為武林高手。

從信息科學(xué)的角度看來，量子力學(xué)中能夠利用的是三個非常違反宏觀世界日常經(jīng)驗的要點(diǎn)：疊加、測量和糾纏。我們不妨稱之為“三大奧義”。這不是說量子力學(xué)中只有這三個奧義，當(dāng)然還有其他的，只是跟信息科學(xué)的關(guān)系不是那么大，本文中就不介紹了。

這三大奧義雖然違反“常識”，但微觀世界的許多實驗早已驗證了它們的正確性。在閱讀下文時，每當(dāng)你感到“這怎么可能”、“這不是胡說八道嗎”的時候，請記住，這些原理不是某個科學(xué)家的心血來潮向壁虛構(gòu)，而是已經(jīng)經(jīng)過近百年來的無數(shù)實驗反復(fù)證明的，其應(yīng)用范圍幾乎涉及我們身邊所有事物。所以，在目前的認(rèn)識范圍內(nèi)，科學(xué)界把這些原理視為真理。

如果你想問“如果這些理論是錯的會怎么樣”，回答是：你的電視就開不了機(jī)，手機(jī)就通不了信，計算機(jī)就算不了東西，燈管就發(fā)不了光。所以，你希望這些理論是錯的，還是對的呢？

下面我來具體解釋這“三大奧義”，其中要用到一些數(shù)學(xué)符號，——因為這是最容易理解的方式。如果用日常語言來描述，會多費(fèi)很多口舌，還說得不清不楚。許多文章令人越看越糊涂，就是這個原因。而用數(shù)學(xué)語言來描述，就能準(zhǔn)確簡潔地了解這“三大奧義”。

如果你真心想理解量子信息，超出吃瓜群眾的水平，你就一定要跨越這個心理障礙，勇敢地面對數(shù)學(xué)。這樣做了以后，你就會發(fā)現(xiàn)，其實并不難，你完全可以做到！

五、第一大奧義：疊加

“比特”是計算機(jī)科學(xué)的基本概念，指的是一個體系有且僅有兩個可能的狀態(tài)，一般用“0”和“1”來表示。典型的例子，如硬幣的正、反兩個面或者開關(guān)的開、關(guān)兩個狀態(tài)。

但在量子力學(xué)中，情況出現(xiàn)了本質(zhì)的不同。量子力學(xué)有一條基本原理叫做“疊加原理”：如果兩個狀態(tài)是一個體系允許出現(xiàn)的狀態(tài)，那么它們的任意線性疊加也是這個體系允許出現(xiàn)的狀態(tài)。

現(xiàn)在問題來了，什么叫做“狀態(tài)的線性疊加”？為了說清楚這一點(diǎn)，最方便的辦法是用一種數(shù)學(xué)符號表示量子力學(xué)中的狀態(tài)，就是在一頭豎直一頭尖的括號“|>”中填一些表示狀態(tài)特征的字符。這種符號是英國物理學(xué)家狄拉克發(fā)明的，稱為“狄拉克符號”。

在量子信息中，經(jīng)常把兩個基本狀態(tài)寫成|0>和|1>。而|0>和|1>的線性疊加，就是a|0> + b|1>，其中a和b是兩個數(shù)?！熬€性”意味著用一個數(shù)乘以一個狀態(tài)，“疊加”意味著兩個狀態(tài)相加，所以“線性疊加”就是把兩個狀態(tài)各自乘以一個數(shù)后再加起來。

疊加原理說的是：如果一個體系能夠處于|0>和處于|1>，那么它也能處于任何一個a|0> + b|1>，這樣的狀態(tài)稱為“疊加態(tài)”。這里a和b可以取任何數(shù)，對它們唯一的限制，就是它們的絕對值的平方和等于1，即|a|2+ |b|2 = 1。

疊加原理乍看起來完全和常識相反。假如用|0>代表你在北京喝茶，|1>代表你在巴黎喝茶，那么(|0> + |1>)/√2就意味著你同時在北京與巴黎喝茶！這種狀態(tài)怎么可能存在呢？

但量子力學(xué)的一切實驗結(jié)果都表明，疊加原理是正確的，是一條必不可少的基本原理，至少在微觀世界中是如此。一個電子確實可以“同時位于兩個地方”（這句話實際的意思，要到下一節(jié)講“測量”時才能完全明白）。至于宏觀世界里為什么沒見過一個人同時位于兩處，那是另一個深奧的問題，我們在本文中不做進(jìn)一步的討論。

量子力學(xué)中的“疊加”

在疊加原理的框架下，經(jīng)典的比特變成了“量子比特”。也就是說，這個體系的狀態(tài)不是只能取“0”或取“1”了，而是可以取任意的a|0>+ b|1>狀態(tài)，例如(|0> + |1>)/√2、(|0> - |1>)/√2、(|0> + √3|1>)/2、(√3|0> - |1>)/2等等。從兩個選擇到無窮多個選擇，這是個巨大的擴(kuò)展。顯然，一個量子比特包含比一個經(jīng)典比特大得多的信息量。

為了更方便地理解這個概念，我們可以把一個量子力學(xué)的狀態(tài)理解成一個矢量（請回憶高中數(shù)學(xué)，矢量就是既有大小也有方向的量，例如牛頓力學(xué)中的力、速度、位移都是矢量）。實際上，狄拉克符號|>正是為了讓人聯(lián)想到矢量而設(shè)計的。以后我們就把表示量子力學(xué)狀態(tài)的矢量稱為“態(tài)矢量”。

我們可以認(rèn)為，所有的a|0> + b|1>態(tài)矢量都屬于同一個平面。而在這個平面上，|0>和|1>定義了兩個方向，相當(dāng)于xy兩個坐標(biāo)軸上的單位矢量。在|a|2 + |b|2 = 1的條件下，a|0>+ b|1>就是從原點(diǎn)到半徑為1的單位圓上一點(diǎn)的矢量?？辞宄@個幾何圖象，我們立刻就明白，單位圓上任何一點(diǎn)的地位都是相同的，沒有一個態(tài)比其他態(tài)更特殊，可謂“眾生平等”。

回憶一下高中學(xué)的解析幾何。在那里我們首先要畫出坐標(biāo)系，確定兩個坐標(biāo)軸的方向，但具體的選擇完全是隨意的。任何兩個方向都可以作為x軸和y軸，只要它們互相垂直。無論你怎么選擇坐標(biāo)軸，最終的計算結(jié)果都不會變（當(dāng)然，計算過程的繁簡程度可能不同）。在這里也是一樣，你選擇哪兩個矢量作為|0>和|1>都可以，唯一的要求就是它們互相垂直。

疊加原理和基組

我們可以定義兩個狀態(tài)|+> =(|0> + |1>)/√2和|-> = (|0> - |1>)/√2，從圖中可以看出，它們相當(dāng)于把|1>和|0>向左旋轉(zhuǎn)45度。如果把|+>和|->當(dāng)作基本狀態(tài)，用它們的線性疊加來表示單位圓上所有的狀態(tài)，同樣是可行的，——這就相當(dāng)于把坐標(biāo)系向左旋轉(zhuǎn)了45度。在這個新的坐標(biāo)系下，|0> = (|+> + |->)/√2，|1> = (|+> - |->)/√2。

事實上，一種常見的實現(xiàn)量子比特的方法，就是用光子的“偏振態(tài)”。光是一種電磁波，不斷地產(chǎn)生電場和磁場。如果電場位于某個確定的方向，我們就說這個光子是偏振的。四個狀態(tài)|0>、|1>、|+>和|->，分別對應(yīng)光子的偏振處于0度、90度、45度和135度。在這個體系中，上面的圖就不僅是個比喻，而且直接對應(yīng)實驗了。

取一組矢量，如果其他所有的矢量都能表示成這組矢量的線性疊加，那么這組矢量就叫做“基組”。|0>和|1>構(gòu)成一個基組，|+>和|->也構(gòu)成一個基組，這樣的基組有無窮多個。

根據(jù)上面的圖，我們還可以做一個比喻：經(jīng)典比特是“開關(guān)”，只有開和關(guān)兩個狀態(tài)（0和1），而量子比特是“旋鈕”，就像收音機(jī)上調(diào)頻的旋鈕那樣，有無窮多個狀態(tài)（所有的a|0> + b|1>）。顯然，旋鈕的信息量比開關(guān)大得多。

（未完待續(xù)）

背景簡介：本文作者為袁嵐峰，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)化學(xué)博士，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)合肥微尺度物質(zhì)科學(xué)國家實驗室副研究員，科技與戰(zhàn)略風(fēng)云學(xué)會會長。